miércoles, 27 de junio de 2012

VECTORES


La localización de puntos en el plano se estudia en el marco de un sistema de coordenadas. Por ejemplo, en la figura 1, cada uno de los puntos  en el plano se localiza usando un sistema de coordenadas rectangulares. El punto A es el punto (6, 7).
                Además, A se encuentra a cierta distancia en determinada dirección a partir del origen (0, 0). La distancia y la dirección se caracterizan por la longitud y la dirección del segmento de recta que va del origen O a A. A dicho segmento de recta dirigido se llama vector de posición, el cual se denota OA. “O” recibe el nombre de punto inicial de OA, y “A” recibe el nombre de punto terminal. Existen dos formas de interpretar (6, 7); se define como la localización de un punto en el plano o como un vector de posición OA.
                         Fig. 1
               
Se denota con R2 el conjunto de pares ordenados de números reales. Observe el significado de ordenado aquí, ya que (6, 7) no es el mismo vector que (7, 6). El orden es importante.
Estos conceptos se pueden extender a arreglos de tres números reales, como (3, 5, 3), que se puede interpretar de dos formas: como la localización de un punto en el espacio de tres dimensiones con respecto a un sistema de coordenadas xyz, o como un vector de posición. Estas interpretaciones se muestran en la figura 2. Se denotará con R3 al conjunto de tripletas ordenadas de números reales.


Fig. 2 Interpretación en R3 de (3, 5, 3)

De manera general podemos definir lo siguiente:

Definición.
Sea u = (u1, u2, …, un) una sucesión de n números reales. Dicha sucesión u se denomina vector y el conjunto de estas sucesiones recibe el nombre de espacio en n y se denota comoRn.
u1 es la primera componente de (u1, u2, …, un). u2 es la segunda componente, y así sucesivamente.
Los elementos de Rn se suelen interpretar como puntos en el espacio n o como vectores de posición en el espacio n. Considerando este esquema, se denota R al conjunto de los números reales.

Definición.
Igualdad de vectores.
Sean u = (u1, u2, …, un) y v = (v1, v2, …, vn) dos elementos de Rn. Se dice que u y v son iguales si u1 = v1, u2 = v2, …, un = vn. Así, dos elementos de Rn (vectores) son iguales si sus componentes correspondientes son iguales.

Definición.
Sean u = (u1, u2, …, un) y v = (v1, v2, …, vn) elementos de Rn y sea c un escalar. La adición y la multiplicación por un escalar se definen de la siguiente manera:
Adición:                                        u + v = (u1 + v1, u2 + v2, …, un + vn)
Multiplicación por un escalar:          cu = (cu1cu2, …, cun)

Para sumar dos elementos de Rn se suman los componentes correspondientes. Para multiplicar un elemento de Rn por un escalar, se multiplica cada componente por el escalar. Observe que los elementos resultantes pertenecen a Rn. Se dice que Rn es cerrado bajo la adición y bajo la multiplicación por un escalar.


Fig. 3

En la figura 3 puede observarse que la dirección del vector depende del signo del escalar. Seau un vector y c un escalar. La dirección de cu es la misma que la de u si c > 0, y la dirección es opuesta a u si c < 0. La longitud de cu es |c| veces la longitud de u

Vector negativo.
El vector (-1)u se escribe –u y recibe el nombre de negativo de u. Se trata de un vector con la misma magnitud que u, pero en dirección opuesta a u.
Vector cero.
El vector (0, 0, …, 0) que tiene n componentes iguales a cero, recibe el nombre de vector cero de Rn y se denota 0. Por ejemplo, (0, 0, 0) es el vector cero de R3.


Teorema 1.
Sean uv w vectores en Rn, y c y d escalares. Entonces:
  1. u + v = v + u                                                   Propiedad conmutativa.
  2. u + (v + w) = (u + v) + w                                 Propiedad asociativa de la suma
  3. u + 0 = 0 + u = u                                            Elemento neutro de la suma.      
  4. u + (-u) = 0
  5. c(u + v) = cu + cv                                           Propiedad distributiva por un escalar   
  6. c(du) = (cd)u                                                  Propiedad asociativa para el producto.
  7. 1u                                                            Elemento identidad para el producto.



Definición.
Producto punto.
Sean u = (u1, u2, …, un) y v = (v1, v2, …, vn) dos vectores en Rn. El producto punto de u y vse denota · v y se define como
u · v = u1v1 + u2v2 + … + unvn

El producto punto asigna un número real a cada par de vectores.

Ejemplo:
Determine el producto punto de u = (1, -2, 4) y v = (3, 0, 2).
Solución:
Se tiene que u · v = (1, -2, 4) · (3, 0, 2) = 1(3) + (-2)(0) + 4(2) = 3  + 0 + 8 = 11

Propiedades del producto punto.
Sean uv w vectores en Rn y sea c un escalar. Entonces:
  1. u · v · u
  2. (u + v ) · w = u · w + v · w
  3. cu · v = c(u · v) = u · cv
  4. u · u ≥ 0 y u · u= 0 si y sólo si u = 0

Norma de un vector en Rn.
La norma (longitud o magnitud) de un vector u = (u1, u2, …, un) en Rn se denota |u| y se define como
|u| = 
Nota: La norma de un vector también se puede expresar en términos del producto punto.

Para el caso de R2, gráficamente esto puede representarse de la siguiente manera:

Fig. 5 Norma de un vector en R2.
Ejemplo:
1. Determine las normas de los vectores u = (1, 3, 5) de R3 y v = (3, 0, 1, 4) de R4.
Solución:
De acuerdo con la definición anterior,
Definición.
Un vector unitario es un vector cuya norma es igual a 1. Si v es un vector distinto de 0, entonces el vector
es un vector unitario en la dirección de v. El procedimiento para construir un vector unitario en la misma dirección de un vector dado recibe el nombre de normalización del vector.


Los siguientes vectores en R3 son especiales y reciben la siguiente definición:
i = (1, 0, 0)
j = (0, 1, 0)
k = (0, 0, 1)
Se denominan vectores base en ij y k en R3. Por lo tanto, si v = (a, b, c) es cualquier vector en R3, entonces como (a, b, c) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) se puede escribir
v = (a, b, c) = ai + bj + ck

Fig. 6 Los vectores base ij y k en R3.




Con esta representación se dice que v está resuelto en sus componentes. Los vectores ij y k tienen dos propiedades:
  1. Ninguno de ellos es múltiplo del otro. Son perpendiculares entre sí.
  2. Cualquier vector en R3 se puede escribir en términos de ij y k.
Ejemplo.
Exprese los siguientes vectores en términos de ij y k
  1. (3, -1, 2)                 b)  (0, -4, 5)              c)  (-2, 0, 3)             d)  (0, 6)
Solución:
  1. 3i - j +2k                    b)  - 4j + 5k                  c)-2i + 3k                   d) 3j

Teorema 2
Sean u y v dos vectores diferentes de cero. Si φ es el ángulo entre ellos, entonces

Ejemplo:
Determine el ángulo entre los vectores i = (1, 0, 0)  y j = (0, 1, 0).
Solución:
Tenemos que  i · j = (1, 0, 0) . (0, 1, 0) = 1(0) + 0(1) + 0(0) = 0
|i| =  
|j| =   
Entonces      
Por lo tanto   φ = 90º
Este ejemplo ilustra la siguiente definición.

Definición.
Vectores ortogonales.
Los vectores u y v diferentes de cero son ortogonales (o perpendiculares) si el ángulo entre ellos es π/2.

Teorema 3
Los vectores u y v diferentes de cero son ortogonales si y sólo si u · v = 0

Definición.
Vectores paralelos.
Dos vectores diferentes de cero u y v son paralelos si el ángulo entre ellos es cero o π. Recuerde que los vectores paralelos tienen la misma dirección o direcciones opuestas.
Si u ≠ 0, entonces u y v son paralelos si y sólo si v = αu para algún escalar α ≠ 0.

Definición.
Sea x = (x1x2, …, xn) y y = (y1, y2, …, yn) dos puntos en Rn. La distancia entre x y y se denota d(xy)  y se define como

Nota: También se puede  expresar la distancia de la manera siguiente:
d(xy) = | x – y|

Producto Cruz de Dos Vectores.
A diferencia del producto punto, el producto cruz sólo se encuentra definido en R3 de la siguiente forma:

Definición:
Producto Cruz o Vectorial.
Sean u = a1i + b1j + c1k y v = a2i + b2j + c2k. Entonces el producto cruz (producto vectorial) de u y v, denotado por u x v, es un nuevo vector definido por
u x v= (b1c2 – c1b2)i + (c1a2 – a1c2)j + (a1b2 – b1a2)k
Observe que el resultado del producto cruz es un vector, mientras que el resultado del producto escalar es un escalar.

Ejemplo:
Sean u = i – j + 2k y v = 2i + 3j – 4k. Calcule w = u x v.
Solución:
Utilizando la definición anterior:   
w = [(-1)(-4) – (2)(3)]i + [(2)(2) – (1)(-4)]j + [(1)(3) - (-1)(2)]k = -2i + 8j +5k

Teorema 4
Sean u = a1i + b1j + c1k y v = a2i + b2j + c2k. Entonces:

Demostración:

Ejemplo:
Calcule u x v  y  v x u, donde u = 3i – 2j + 4k y v = i + 2j -3k.
Solución:
¿Qué particularidad se observa en los dos vectores obtenidos?

Teorema 5
Sean uv y w tres vectores en R3 y sea α un escalar, entonces:
  1. u x 0 = 0 x u = 0
  2. u x v = -(v x u)                         Propiedad anticonmutativa para el producto vectorial.
  3. (αu) x v = α(u x v)
  4. u x (v + w) = (u x v) + (u x w)    Propiedad distributiva para el producto vectorial.
  5. (u x v) · w = u · (v x w)             Esto se llama triple producto escalar de uv y w.
  6. u · (u x v) = v · (u x v) = 0         u x v es ortogonal a u y a v.
  7. Si ni u ni v son el vector cero, entonces u y v son paralelos si y sólo si u x v0.


Fig. 7 El producto cruz de u y v (u x v) es ortogonal tanto a u como a v.
El punto 6 del teorema anterior establece que
El producto cruz u x v es ortogonal tanto a u como a v.

Teorema 6
Si rere es el ángulo entre u y v entonces
|u x v| = |u| |v| senttt

Demostración:
Usando la definición de magnitud de un vector, se tiene:
|u x v|2 =(u2v3 – u3v2)2 + (u3v1 – u1v3)2 + (u1v2 – u2v1)2
Al desarrollar los cuadrados, se puede escribir:
Existe una interpretación geométrica del teorema anterior. Los vectores u y v están dibujados en la figura 8, y se puede pensar que son los lados adyacentes de un paralelogramo. Entonces de la geometría elemental, se observa que
Fig. 8 El área del paralelogramo que tiene lados adyacentes u y v es:
|u| |v| senii = | u x |


 Rectas y planos en el espacio.
Rectas en R3.
Considere dos puntos P = (x1y1z1) y Q = (x2y2z2) que pasan sobre una recta L.  Un vector paralelo a L es aquel con representación fig5. Entonces
v = (x2 – x1)+ (y2 – y1)j + (z2 – z1)k
resulta ser un vector paralelo a la recta L. Ahora sea el punto R = (xyz) otro punto sobre la misma recta L. Entonces fig7 es paralelo a fig6, que a su vez es paralelo a v. Por lo tanto,
fig8 = tv
para algún número real t. Ahora, observando la figura se tiene que para cualquiera de los tres casos posibles,
fig9 = fig10 + fig11

Fig. 9    En los tres casos OR = OP + PR

Al combinar las dos últimas expresiones, se tiene que:
fig12 = fig13 + tv
Esta expresión se conoce como ecuación vectorial de la recta L. Si R está sobre L, entonces esta ecuación se satisface para algún número real t. De manera contraria, si dicha ecuación se cumple, entonces invirtiendo los pasos, se observa que fig13 es paralelo a v, lo que significa que R está sobre L.
Si se desarrollan las componentes de la ecuación vectorial de la recta, se obtiene:
xi + yj + zk = x1i + y1j + z1k + t(x2 – x1)i+ t(y2 – y1)j+ t(z2 – z1)k
o también:
Este grupo de ecuaciones se conocen como ecuaciones paramétricas de una recta.
Si del anterior grupo de ecuaciones despejamos t y definimos a =x2– x1, b = y2 – y1 y c = z2 –z1, se encuentra que si abc ≠ 0, entonces,
las cuales se denominan ecuaciones simétricas de una recta. Aquí a, b y c son números directores del vector v y por supuesto estas ecuaciones son válidas si a, b, y c son diferentes de cero.
Ejemplo 1.
Hallar las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas de la recta L que pasa por los puntos P = (1, –1, 2) y Q = (–2, 1, 3).
Solución:
En primer término, se determina el vector v que pasa por los puntos P y Q
v = (–2 –1)i + [1 –(–1)]j + (3 – 2)k = –3i +2j + k
Ahora, si R = (x, y, z) se encuentra sobre la recta, se obtiene
fig14 = xi +yj + zk = fig15 + tv = i – j + 2k + t(–3i + 2j + k)
xi +yj + zk= (1 – 3t)i + (–1 + 2t)+ (2 + t)k
Ecuaciones paramétricas:     x = 1 – 3t              y = –1 + 2t            z = 2 + t
Como a = –3, b = 2 y c = 1, las ecuaciones simétricas son:

Ejemplo 2.
Determinar las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por los puntos P = (2, 3, –1)  y
Q = (–2, 3, 4).
Solución:
Aquí tenemos que:
v = (–2 –2)+ (3 – 3)j +(4 + 1)k
v = –4i + 5k
Por lo que:
xi +yj + zk=  2i +3j – k + t(-4i + 5k) = 2i + 3j – k – 4ti + 5tk
xi +yj + zk= (2– 4t)i + 4+ (–1 + 5t)k
x = 2 – 4t
y = 3
z = –1 + 5t
o de otra forma, ya que a = –4, b = 0 y c = 5
La ecuación y = 3 representa la ecuación de un plano paralelo al plano xz.

Planos en R3.
Sea P0(x0, y0, z0) el punto de un plano. Sea (a, b c) un vector perpendicular al plano, llamado vector normal al plano. Véase la figura. Estas dos cantidades, un punto en el plano y un vector normal al plano, definen al plano. Únicamente existe un plano a través de un punto dado y con una normal dada. A continuación se deduce la ecuación de dicho plano que pasa a través de un punto P0(x0, y0, z0) y una normal (a, b, c).

Fig. 10 El vector n es ortogonal a todos los vectores en el plano
Sea P(x, y, z) un punto arbitrario en el plano. Se tiene
fig15 = (x, y, z) – (x0y0z0)
    = (x – x0y – y0z –z0)
El vector fig16 se encuentra en el plano, por lo que los vectores (a, b c) y fig17 son ortogonales y debido a esto su producto punto es cero. Esta observación  conduce a una ecuación del plano.
(a, b, c) · fig18 = 0
(a, b, c) · (x – x0y – y0z – z0) = 0
a((x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0
A esta ecuación se le conoce como la forma punto-normal de la ecuación del plano. Reescribiendo la ecuación se tiene:
ax – ax0 + by – by0 + cz – cz0 = 0
ax + by +cz – ax0 – by0 – cz0 = 0
Los tres últimos términos son constantes y agrupándolos en una sola constante llamada d, se tiene:
ax+ by + cz + d = 0
Esta forma es conocida como ecuación cartesiana de un plano.

Ejemplo 1.
Encuentre la forma punto-normal y la forma general de la ecuación del plano que pasa a través del punto (1, 2, 3) y que tiene como normal a (-1, 4, 6).
Solución:
Sea (x0y0z0) = (1, 2, 3) y (a, b, c) = (-1, 4, 6).
La forma punto normal es:
-1(x – 1) + 4(y – 2) + 6(z – 3)  = 0
Multiplicando y simplificando:
-x + 1 + 4y – 8 + 6z – 18 = 0
La forma general es:
-x + 4y + 6z -25 = 0
Ejemplo 2.
Determine la ecuación del plano que pasa por los puntos P1(2, -1, 1), P2(-1, 1, 3) y P3(2, 0, 3).
Solución:
Los vectores fig19 y fig20 están en el plano. Por lo que el producto cruz de fig21 x fig22 será normal al plano. De esta forma:
fig23 = (–1, 1, 3) – (2, –1, 1) = (–3, 2, 2)
fig24 = (2, 0, 3) – ( 2, –1, 1) = (0, 1, 2)
Por lo tanto:
Sea (x0y0z0) = (2, –1, 1) y (a, b, c) = (2, 6, –3).
La forma punto normal es
2(x – 2) + 6(y + 1) – 3(z – 1) = 0
2x – 4 + 6y + 6 – 3z + 3 =0
La ecuación del plano es
2x + 6y – 3z + 5 = 0
Observe que cada uno de los puntos dados (2,–1, 1), (–1, 1, 3) y (2, 0, –3) satisface esta ecuación.